Contenido

Índice

Antes de empezar · clase 4

El método

Cada problema se resuelve con el método de la clase 4, del problema al diagrama:

1. Pregunta: el propósito manda.
2. Frontera y variables: qué entra, qué se acumula, qué es fijo.
3. Supuestos: escritos, para poder revisarlos.
4. Cuentas: queda = había + entra − sale.
5. Diagrama de bloques: con la receta de las cuatro preguntas.
6. Validar: unidades, extremos y datos reales.

El taller agrega lo de las clases siguientes: Laplace, simplificación, transferencia y raíces. Las respuestas van resaltadas.

Antes de empezar

Ideas clave

Los cinco principios

• Propósito: ¿qué pregunta respondo?
• Frontera: ¿qué queda adentro y qué afuera?
• Simplicidad: ¿qué ignoro sin dañar la respuesta?
• Conservación: queda = había + entra − sale.
• Validación: ¿se parece a la realidad?

Vocabulario

• Variable cambia con el tiempo; parámetro se queda fijo mientras estudiamos.
• Equilibrio: entra lo mismo que sale y ya no cambia.
• Lazo B: la flecha que vuelve resta, se queda quieto. Lazo R: suma, crece sin freno.

Antes de empezar

Las piezas

Laplace y simplificación

• dx/dt pasa a s·X(s); un valor fijo U pasa a U/s.
• Ecuación característica = denominador igual a 0. Raíces negativas: se estabiliza. Con j: oscila.
• Valor final: x(∞) = s·X(s) con s → 0.
• Serie G1·G2 · paralelo G1 + G2 · lazo G/(1 + G·H)

Problema 1

La batería del celular

Un celular apagado, con la batería en 0 %, se conecta a un cargador que cada minuto mete el 5 % de lo que le falta a la batería para llegar al 100 %.

Mientras carga, las aplicaciones abiertas consumen 1 % por minuto, de forma constante.

Problema 1 · La batería del celular

Lo que hay que hacer:

1. Modelar el sistema: la variable que se acumula, la entrada de referencia, la perturbación y los parámetros.
2. Plantear la ecuación diferencial del nivel de batería.
3. Aplicar la transformada de Laplace a la ecuación.
4. Dibujar el diagrama de bloques y simplificarlo paso a paso.
5. Obtener las funciones de transferencia B(s)/R(s) y B(s)/D(s), y la ecuación característica.
6. Obtener B(t) y calcular cuánto tarda la batería en superar el 60 %.
7. Determinar el porcentaje en que se estabiliza la carga y explicar por qué no llega al 100 %.
8. Calcular qué fracción de lo que falta debería meter el cargador para que la carga se estabilice en 95 %.

Problema 1 · Principios 1 y 2

Propósito

¿En qué nivel se queda la batería si la dejo cargando con las apps abiertas, y en cuántos minutos pasa del 60 %?

concretase responde con un númerotiene tiemposirve para decidir si cierro apps

Frontera

• Adentro: la batería, lo que se acumula.
• Llega de afuera: el cargador, que apunta al 100 %, y el consumo de las apps.
• Afuera, se ignora: la marca del celular, el forro, la temperatura.

Problema 1 · Modelo (punto 1)

La tabla de variables

Truco de la clase: ¿cambia mientras lo miro? Variable. ¿Se queda quieto? Parámetro.

Problema 1 · Principio 3

Supuestos

Un supuesto no es trampa: es una decisión que otro puede revisar.

Problema 1 · Principio 4 · Las cuentas

Queda = había + entra − sale

Entra = 0,05 × (100 − había). Sale = 1. Prueba de escritorio, minuto a minuto:

Cada minuto sube menos: cuanto más llena, menos mete el cargador. Se queda quieta cuando entra lo mismo que sale: 0,05 × (100 − B) = 1 → B = 80 %.

Problema 1 · Solución

De la tabla a la ecuación (punto 2)

Si en vez de contar a saltos de un minuto lo hacemos continuo, "queda − había" se vuelve dB/dt:

Unidades: (1/min)·(%) − (%/min) = %/min ✓

Laplace (punto 3)

Con B(0) = 0, dB/dt pasa a s·B(s):

Problema 1 · Receta del diagrama

Las cuatro preguntas

La flecha que vuelve resta: es un lazo B de balanceo. Por eso la batería no sube para siempre: se queda quieta en 80 %.

El lazo no lo pusimos: estaba en el problema. El cargador mira cuánto falta.

Problema 1 · Solución

Diagrama de bloques (punto 4)

El sumador calcula lo que falta, E = R − B. Eso pasa por 0,05; luego se resta el consumo D; el integrador 1/s da B, que regresa al comienzo.

Problema 1 · Solución

Simplificación paso a paso

Paso 1 · serie (con D = 0): 0,05 y 1/s se multiplican.

Paso 2 · lazo: G/(1 + G·H) con G = 0,05/s y H = 1.

Paso 3 · lazo para D (con R = 0): G = −1/s y H = 0,05.

Problema 1 · Solución

Transferencia y raíces (punto 5)

El signo − dice que el consumo baja la batería.

Ecuación característica: s + 0,05 = 0

Raíz: s = −0,05. Es negativa y real: la batería se estabiliza sin oscilar. Tarda unos 20 min por cada "constante de tiempo".

Problema 1 · Respuestas

Punto 6 · B(t) y el 60 %

Con R(s) = 100/s y D(s) = 1/s:

Para el 60 %: 60 = 80·(1 − e^−0,05t), así que e^−0,05t = 0,25.

t = ln 4 ÷ 0,05 → la batería pasa del 60 % a los 27,7 minutos.

Problema 1 · Respuestas

Punto 7 · Dónde se queda

B(∞) = 4 ÷ 0,05 → se queda en 80 %.

No llega al 100 % porque el cargador mete menos cuanto más llena está. Al 80 % mete 0,05 × 20 = 1 %/min: lo mismo que gastan las apps. Entra lo mismo que sale y el nivel ya no sube.

Punto 8 · Para quedar en 95 %

En el equilibrio, lo que mete el cargador = el consumo:

El cargador tendría que meter el 20 % de lo que falta cada minuto.

Problema 1 · Principio 5 · Validación

Tres pruebas

• Unidades: todo en % por minuto. ✓
• Casos extremos: sin apps (D = 0) llega al 100 %; con B = 80, 0,05 × 20 − 1 = 0 y ya no cambia; al inicio sube 4 %/min, igual que la pendiente de B(t). ✓
• Datos reales: anotar el % del celular cada 5 minutos mientras carga con apps abiertas y compararlo con B(t).

La tabla (a saltos) y la ecuación (continua) dan números un poco distintos minuto a minuto, pero llegan al mismo equilibrio: 80 %.

Problema 2

Los tanques del acueducto

Una bomba sube agua a un tanque elevado a razón de 100 litros por hora. Del tanque elevado pasa a un tanque inferior, cada hora, la mitad del agua que contiene.

Del tanque inferior sale hacia las casas, cada hora, la cuarta parte del agua que contiene. El tanque inferior tiene capacidad para 500 litros. Ambos tanques empiezan vacíos.

Problema 2 · Los tanques del acueducto

Lo que hay que hacer:

1. Modelar el sistema: las variables que se acumulan, la entrada y los parámetros.
2. Plantear una ecuación diferencial para cada tanque.
3. Aplicar la transformada de Laplace a cada ecuación.
4. Dibujar el diagrama de bloques, identificar sus lazos e indicar si se tocan.
5. Simplificar el diagrama paso a paso y obtener V1(s)/Q(s), V2(s)/Q(s) y la ecuación característica.
6. Calcular el volumen final de cada tanque y determinar si el tanque inferior se rebosa.
7. Repetir el cálculo anterior con la bomba a 150 litros por hora.
8. Obtener V2(t).

Problema 2 · Principios 1 y 2

Propósito

¿Se rebosa el tanque inferior con la bomba a 100 L/h? ¿Y si la subimos a 150 L/h?

concretase responde con sí o nosirve para decidir si cambio el tanque

Frontera

• Adentro: los dos tanques, que acumulan agua.
• Llega de afuera: el agua de la bomba.
• Sale de la frontera: el agua que va a las casas.
• Afuera, se ignora: la calidad del agua, la hora en que cada casa abre la llave.

Problema 2 · Modelo (punto 1)

La tabla de variables

Todo está en litros y en horas: no hay que convertir nada.

Problema 2 · Principio 3

Supuestos

"Se rebosa" quiere decir que V2 pasaría de 500 L.

Problema 2 · Principio 4 · Las cuentas

Queda = había + entra − sale

Elevado: queda = V1 + 100 − V1÷2. Inferior: queda = V2 + V1÷2 − V2÷4.

Cada tanque sube cada vez menos. Equilibrio: V1 cuando 100 = V1÷2, es decir 200 L; V2 cuando 100 = V2÷4, es decir 400 L.

Problema 2 · Solución

De la tabla a las ecuaciones (punto 2)

Elevado: entra la bomba, sale la mitad.

Inferior: entra lo del elevado, sale la cuarta parte.

Unidades: todo en L/h ✓

Laplace (punto 3)

Problema 2 · Receta del diagrama

Las cuatro preguntas

Las dos flechas que vuelven restan: son dos lazos B. Lo que pasa del elevado al inferior (0,5·V1) es un dato que va a dos lados: se resta en uno y se suma en el otro.

Problema 2 · Solución

Diagrama de bloques (punto 4)

Lazos: L1 (el elevado pierde según lo que tiene) y L2 (el inferior igual). No se tocan.

Problema 2 · Solución

Simplificación paso a paso (punto 5)

Paso 1 · lazo en L1: (1/s)/(1 + 0,5/s)

Paso 2 · lazo en L2: (1/s)/(1 + 0,25/s)

Paso 3 · serie: se multiplican los tres.

Problema 2 · Solución

Transferencia y raíces (punto 5)

Ecuación característica: s² + 0,75s + 0,125 = 0

Raíces: −0,5 y −0,25. Reales y negativas: los tanques se llenan sin oscilar.

Problema 2 · Respuestas

Punto 6 · Volumen final (100 L/h)

Valor final con Q = 100/s:

• V1(∞) = 100 ÷ 0,5 = 200 L
• V2(∞) = 100 × 0,5 ÷ 0,125 = 400 L

400 L es menos que 500 L: el tanque inferior no se rebosa.

Punto 7 · Con la bomba a 150 L/h

Todo crece igual (× 1,5): V1 = 300 L y V2 = 600 L.

600 L pasa de 500 L: sí se rebosa, a las 9,8 horas de prender la bomba.

Problema 2 · Respuestas

Punto 8 · V2(t)

V2(s) = Q(s) · V2/Q, con Q = 100/s, y se separa en fracciones parciales:

Regresando al tiempo:

Problema 2 · Principio 5 · Validación

Tres pruebas

• Unidades: todo en litros por hora. ✓
• Casos extremos: V2(0) = 400 + 400 − 800 = 0; si la bomba se apaga, los dos bajan; V2 siempre sube, así que 400 L es su máximo y no hay pico que rebose antes. ✓
• Equilibrio: entran 100 L/h y salen 0,25 × 400 = 100 L/h. ✓
• Datos reales: medir con una varilla el nivel de cada tanque cada hora y compararlo con la tabla.

Problema 3

La creciente del Atrato

La lluvia que cae en la parte alta llega al malecón de Quibdó por dos caminos. Una quebrada recibe el 40 % de la lluvia y cada hora le entrega al Atrato toda el agua que tiene acumulada. Un río grande recibe el 60 % restante y cada hora le entrega la cuarta parte de lo que tiene.

El tramo del Atrato frente al malecón recibe el agua de ambos y cada hora deja ir río abajo la mitad de lo que tiene. Antes del aguacero todo está en su nivel normal, y los volúmenes se miden por encima de ese nivel.

Cae una lluvia constante de 100 unidades por hora. Se da la alerta si el volumen frente al malecón supera las 180 unidades.

Problema 3 · La creciente del Atrato

Lo que hay que hacer:

1. Modelar el sistema: las variables que se acumulan, la entrada y los parámetros.
2. Plantear una ecuación diferencial para cada variable que se acumula.
3. Aplicar la transformada de Laplace a cada ecuación.
4. Dibujar el diagrama de bloques e identificar los caminos en paralelo y los lazos.
5. Simplificar el diagrama paso a paso y obtener VQ(s)/R(s) y la ecuación característica.
6. Calcular el volumen final frente al malecón e indicar si se da la alerta.
7. Determinar cuál de los dos caminos hace llegar primero el agua al malecón y justificarlo con la función de transferencia.

Problema 3 · Principios 1 y 2

Propósito

Con este aguacero, ¿pasa el agua del malecón las 180 unidades? ¿Cuándo, y por cuál camino llega primero?

concretase responde con sí o no y una horasirve para dar la alerta a tiempo

Frontera

• Adentro: la quebrada, el río grande y el tramo del Atrato frente al malecón.
• Llega de afuera: la lluvia de la parte alta.
• Afuera, se ignora: los peces, la temperatura del agua, el clima de todo el Chocó, lo que pasa río abajo.

Problema 3 · Modelo (punto 1)

La tabla de variables

Se usa V1 para la quebrada y no Q, para no confundirla con la Q de Quibdó.

Problema 3 · Principio 3

Supuestos

Problema 3 · Principio 4 · Las cuentas

Queda = había + entra − sale

Quebrada: + 40, − todo. Río: + 60, − V2÷4. Malecón: + lo que llega, − VQ÷2.

Equilibrio: V1 = 40, V2 = 60 × 4 = 240, y al malecón llegan 40 + 60 = 100 por hora, así que VQ = 100 × 2 = 200.

Problema 3 · Solución

De la tabla a las ecuaciones (punto 2)

Cada una: entra − sale, en forma continua.

Unidades: todo en u/h ✓

Laplace (punto 3)

Problema 3 · Receta del diagrama

Las cuatro preguntas

Son tres lazos B. Lo nuevo aquí: la lluvia se parte en dos caminos en paralelo que se vuelven a juntar en el círculo del malecón.

Problema 3 · Solución

Diagrama de bloques (punto 4)

Caminos en paralelo: quebrada y río salen de R y se juntan en el malecón.

Lazos: −1/s, −0,25/s y −0,5/s. Ninguno toca a otro.

Problema 3 · Solución

Simplificación paso a paso (punto 5)

Paso 1 · lazos: quebrada 1/(s + 1), río 1/(s + 0,25), malecón 1/(s + 0,5).

Paso 2 · serie en cada rama:

Paso 3 · paralelo: las dos ramas se suman.

Paso 4 · serie con 1/(s + 0,5):

Problema 3 · Solución

Transferencia y raíces (punto 5)

Ecuación característica:

Raíces: −1, −0,5 y −0,25. Todas reales y negativas: el nivel sube y se queda quieto, sin oscilar.

Problema 3 · Respuestas

Punto 6 · Volumen final y alerta

Valor final con R = 100/s:

200 pasa de 180: sí se da la alerta.

Con fracciones parciales:

Igualando a 180, la alerta salta hacia las 10 horas de aguacero.

Problema 3 · Respuestas

Punto 7 · Qué camino llega primero

Cada camino tiene su polo; el más lejos de 0 responde más rápido.

Llega primero la quebrada: su polo (−1) está cuatro veces más lejos de 0 que el del río (−0,25).

El río llega después, pero al final aporta más: 120 de las 200 unidades.

Problema 3 · Principio 5 · Validación

Tres pruebas

• Unidades: todo en unidades por hora. ✓
• Casos extremos: VQ(0) = 200 + 80 − 240 − 40 = 0; si para de llover, los tres bajan; si toda la lluvia fuera por la quebrada, el final seguiría en 200: el reparto cambia la velocidad, no el nivel. ✓
• Equilibrio: al malecón entran 40 + 0,25 × 240 = 100 u/h y salen 0,5 × 200 = 100 u/h, lo mismo que llueve. ✓
• Datos reales: leer la regla de nivel del malecón cada hora durante un aguacero.

La tabla, a saltos de una hora, y la ecuación continua dan números distintos hora a hora, pero llegan al mismo equilibrio: 200.

Problema 4

El salón con aire acondicionado

Un salón recibe calor por las paredes: cada minuto, su temperatura sube el 10 % de la diferencia entre la temperatura exterior, de 32 °C, y la interior.

El aire acondicionado enfría el salón 0,4 °C por minuto por cada grado que su termómetro marque por encima de 22 °C.

El termómetro no marca la temperatura real al instante: cada minuto corrige la mitad de la diferencia entre lo que marca y la temperatura real del salón.

Problema 4 · El salón con aire acondicionado

Lo que hay que hacer:

1. Modelar el sistema: las variables que se acumulan, la referencia, la perturbación y los parámetros.
2. Plantear las ecuaciones diferenciales del sistema.
3. Aplicar la transformada de Laplace a cada ecuación.
4. Dibujar el diagrama de bloques, indicando dónde se ubica el termómetro.
5. Simplificar el diagrama paso a paso y obtener T(s)/Tm(s), T(s)/Ta(s) y la ecuación característica.
6. Determinar si la temperatura oscila antes de estabilizarse.
7. Calcular la temperatura final del salón.
8. Repetir el análisis con un termómetro que marca la temperatura real al instante y comparar los resultados.

Problema 4 · Principios 1 y 2

Propósito

Con el aire en 22 °C y 32 °C afuera, ¿a qué temperatura queda el salón, y se pasa de frío antes de quedarse quieto?

concretase responde con un númerosirve para decidir si cambio el termómetro

Frontera

• Adentro: el aire del salón y el termómetro del aire acondicionado.
• Llega de afuera: la meta de 22 °C (referencia) y el calor de afuera, 32 °C (perturbación).
• Afuera, se ignora: el color de los pupitres, la humedad.

Problema 4 · Modelo (punto 1)

La tabla de variables

El taller no define Tm ni Ta: aquí Tm es la meta y Ta la temperatura de afuera.

Problema 4 · Principio 3

Supuestos

Problema 4 · Principio 4 · Las cuentas

Queda = había + entra − sale

Salón: + 0,1 × (32 − T), − 0,4 × (Tt − 22). Termómetro: + la mitad de (T − Tt).

El salón ya está frío pero el termómetro todavía marca calor: se pasa de frío y después sube. Equilibrio: 0,1 × (32 − T) = 0,4 × (T − 22) → T = 24 °C.

Problema 4 · Solución

De la tabla a las ecuaciones (punto 2)

Salón: sube por las paredes y baja por el aire, que reacciona a lo que marca el termómetro.

Termómetro: corrige la mitad de la diferencia.

Laplace (punto 3)

Problema 4 · Receta del diagrama

Las cuatro preguntas

Hay dos lazos B: uno corto, por las paredes, y uno largo, por el termómetro. Es el termostato de la clase 2: una meta, algo que mide y una flecha que vuelve para comparar.

Problema 4 · Solución

Diagrama de bloques (punto 4)

El termómetro va en la realimentación: entre la temperatura real T y el sumador donde se compara con la meta.

Problema 4 · Solución

Simplificación paso a paso (punto 5)

Paso 1 · lazo interno: (1/s)/(1 + 0,1/s) = 1/(s + 0,1)

Paso 2 · serie (Ta = 0): 0,4 por 1/(s + 0,1)

Paso 3 · lazo G/(1 + G·H) con el termómetro como H:

Paso 4 · igual para Ta (Tm = 0), que entra por 0,1:

Problema 4 · Solución

Transferencia y raíces (punto 5)

Ecuación característica: s² + 0,6s + 0,25 = 0

Raíces: −0,3 + 0,4j y −0,3 − 0,4j

Problema 4 · Respuestas

Punto 6 · ¿Oscila?

Discriminante: 0,6² − 4 × 0,25 = −0,64. Es negativo, así que las raíces tienen j.

La temperatura sí oscila antes de estabilizarse.

Encendiendo el aire con todo a 32 °C:

Baja de 32 °C, se pasa hasta unos 22,4 °C a los 5 min y vuelve a subir a 24 °C. Es culpa del termómetro lento: cuando el salón ya se enfrió, todavía marca calor.

Problema 4 · Respuestas

Punto 7 · Temperatura final

Valor final con Tm = 22/s y Ta = 32/s:

El salón se queda en 24 °C.

No llega a 22 °C: a 24 °C el aire enfría 0,4 × 2 = 0,8 °C/min y por las paredes entran 0,1 × 8 = 0,8 °C/min. Se equilibran antes de llegar a la meta.

Problema 4 · Respuestas

Punto 8 · Termómetro instantáneo

Si marca la real al instante, Tt = T y queda (s + 0,5)·T = 0,1Ta + 0,4Tm.

El termómetro lento no cambia el final, pero hace oscilar la temperatura.

Problema 4 · Principio 5 · Validación

Tres pruebas

• Unidades: todo en °C por minuto. ✓
• Casos extremos: T(0) = 24 + 8 = 32 °C; sin aire (K = 0) el salón termina a 32 °C, como afuera; con T = Tt = 24 las dos cuentas dan 0. ✓
• Datos reales: poner un termómetro de mano junto al del aire y anotar los dos cada minuto al encenderlo.

La tabla, a saltos de un minuto, exagera la bajada (llega a 20,9 °C); la ecuación continua baja hasta 22,4 °C. Las dos se quedan en 24 °C.

Problema 5

El proyecto de software

Un equipo desarrolla una aplicación. Cada día llegan 5 tareas nuevas y cada día se termina el 10 % de las tareas pendientes. El 40 % de lo que se termina queda con errores ocultos.

Cada día se descubre el 10 % de los errores ocultos, y cada error descubierto vuelve a la lista de pendientes como una tarea. El proyecto empieza sin tareas pendientes.

Problema 5 · El proyecto de software

Lo que hay que hacer:

1. Modelar el sistema: las variables que se acumulan, la entrada y los parámetros.
2. Plantear las ecuaciones diferenciales del sistema.
3. Aplicar la transformada de Laplace a cada ecuación.
4. Dibujar el diagrama de bloques, identificar todos los lazos, su tipo y cuáles no se tocan.
5. Simplificar el diagrama paso a paso y obtener T(s)/R(s) y la ecuación característica.
6. Calcular las tareas pendientes al estabilizarse el proyecto, con errores y sin errores, y la diferencia en porcentaje.
7. Determinar el porcentaje de errores con el que el proyecto nunca se estabiliza.

Problema 5 · Principios 1 y 2

Propósito

¿Cuántas tareas pendientes de más deja el 40 % de errores, y con qué porcentaje de errores el proyecto ya no se estabiliza?

concretase responde con númerossirve para decidir si invertir en pruebas

Frontera

• Adentro: la lista de pendientes y los errores ocultos.
• Llega de afuera: las 5 tareas nuevas de cada día.
• Sale de la frontera: lo que se termina sin errores.
• Afuera, se ignora: el lenguaje, los nombres del equipo, el tamaño de cada tarea.

Problema 5 · Modelo (punto 1)

La tabla de variables

El taller llama T a las pendientes; aquí se usa P para no confundirla con el tiempo.

Problema 5 · Principio 3

Supuestos

Problema 5 · Principio 4 · Las cuentas

Queda = había + entra − sale

Pendientes: + 5, + descubiertos, − terminadas. Errores: + 40 % de las terminadas, − descubiertos.

Equilibrio: errores cuando entra lo que sale, E = 0,4 × P; pendientes cuando 5 + 0,1 × E = 0,1 × P → P = 83,3.

Problema 5 · Solución

De la tabla a las ecuaciones (punto 2)

Pendientes: entran las nuevas, salen las terminadas, vuelven los errores descubiertos.

Errores: entra el 40 % de lo terminado (0,4 × 0,1·P), salen los descubiertos.

Laplace (punto 3)

Problema 5 · Receta del diagrama

Las cuatro preguntas

Aquí aparece algo nuevo: el retrabajo es un lazo R, de refuerzo, como el chisme de la clase. Los otros dos son lazos B.

Problema 5 · Solución

Diagrama de bloques (punto 4)

Problema 5 · Solución

Los lazos (punto 4)

L1 baja las pendientes. L2 baja los errores ocultos. L3 recorre pendientes → terminadas → errores → descubiertos → pendientes: 0,1 × 0,4 × 0,1 = 0,004. Como suma, es de refuerzo: más pendientes traen más retrabajo.

L1 y L2 no se tocan. L3 toca a los dos.

Problema 5 · Solución

Simplificación paso a paso (punto 5)

Paso 1 · lazo en L2 y serie: el camino de los errores queda en un bloque.

Paso 2 · paralelo en el regreso a P:

Paso 3 · lazo con G = 1/s:

Problema 5 · Solución

Transferencia y raíces (punto 5)

Ecuación característica: s² + 0,2s + 0,006 = 0

Raíces: −0,1 ± √0,004 → −0,0368 y −0,1632. Negativas: el proyecto se estabiliza sin oscilar.

Con Mason: Δ = 1 − (L1 + L2 + L3) + L1·L2 da el mismo denominador.

Problema 5 · Respuestas

Punto 6 · Con y sin errores

Valor final con R = 5/s. Sin errores no hay retrabajo: P/R = 1/(s + 0,1).

Diferencia: (83,3 − 50) ÷ 50 = 0,667

Los errores dejan 66,7 % más tareas pendientes, y el proyecto tarda casi el triple en estabilizarse.

Problema 5 · Respuestas

Punto 7 · Cuándo nunca se estabiliza

Se deja la parte con errores como f:

Mientras f sea menor que 1, las raíces son negativas. Con f = 1 aparece una raíz en 0 y P(∞) se vuelve infinito.

Nunca se estabiliza si el 100 % de lo terminado queda con errores: ninguna tarea sale de verdad y las pendientes crecen sin parar.

En lenguaje de la clase: con f = 100 % el lazo R del retrabajo empata a los lazos B y ya nada frena el crecimiento.

Problema 5 · Principio 5 · Validación

Tres pruebas

P(t) = 83,3 − 68,0e^−0,0368t − 15,3e^−0,1632t

• Unidades: todo en tareas por día. ✓
• Casos extremos: P(0) = 83,3 − 68,0 − 15,3 = 0; f = 0 da 50 tareas; f → 1 da infinito. ✓
• Equilibrio: se terminan 8,33 por día; el 60 % sale bien (5, lo mismo que entra) y 3,33 van a errores, de donde vuelven 0,1 × 33,3 = 3,33. ✓
• Datos reales: contar cada día las tareas pendientes y los errores en el tablero del equipo.

Última parte

Bitácora

El trabajo se hizo el 12 y el 13 de octubre de 2026, en cuatro sesiones.

Sesión 1 · Enunciados y modelado

Qué se acumula, entradas y parámetros de los cinco problemas.

Última parte · Bitácora

Sesión 2 · Ecuaciones y transferencias

Ecuaciones, Laplace, transferencias y valores finales.

Sesión 3 · Diagramas y simplificación

Sin errores. Las transferencias del P2 y del P5 se comprobaron con la regla de Mason y dieron lo mismo.

Sesión 4 · Respuestas y validación

Sin errores. Cada equilibrio, puesto en las ecuaciones, dio cambio cero.